3 + 5 = 8

        Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.
        Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.

 

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.  Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no

 

Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil.
        O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
 

        Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.

Um traço vertical representava 1 unidade:          Um osso de calcanhar invertido representava o número 10:          Um laço valia 100 unidades:          Uma flor de lótus valia 1.000:          Um dedo dobrado valia 10.000:          Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades:          Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:

        Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.
        Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante.
        Se tomarmos um número, como por exemplo:

e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes:

   

        Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou.
        O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres.
        O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.

        Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros.
        Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição.
        Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
 

        A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:

        Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
 

        O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:
 

        Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros.
        Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
        E para isso os números inteiros não serviam.

   

        Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...

        Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos.
        O rio Nilo atravessa uma vasta planície.

Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo.          Desde a Antigüidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia.          Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.

        Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
        Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até setembro.
       Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.
       Usavam cordas para fazer a medição.
       Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.
        No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.
         Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.
         Para representar os números fracionários, usavam frações.

   

        Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1.
        Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador.
        As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1.
        Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.
        No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita freqüência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados.
        Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade.
        Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.

    Contando com os romanos 

        De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.
        Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios.
        Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.

        Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana.
        Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas.
       Como foi que os romanos conseguiram isso?

   

        Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
 

        Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração?
        O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:

Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:

        Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.

Os milhares

        Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.
        Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.
        E os números maiores que 3.000?
        Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.
       Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.
       Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.
       O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema.
       Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números.
       E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.

   

        A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.
        A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.
       Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.
       Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.
       Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.
       Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso?
       E por que os símbolos
 

são chamados de algarismos?

   

        Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.
        Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.

        Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid.
Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.

        Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época.

Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi.          Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso!          Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.

        Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus.
        Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu.
        Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo.
        São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.

   

       Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
 

        Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais.
        Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários.
        Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios.
        O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.
        A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.
        A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.