Experimento 7- Movimento Gravitacional: Fundamentos
Teóricos

Figura 7.1 - Sistema
Geocêntrico - órbitas dos

planetas circulares (modelo de Aristóteles e Ptolomeu).

O MOVIMENTO GRAVITACIONAL E AS LEIS DE KEPLER

Um pouco de
história

Quem já não ficou olhando para o céu tentando desvendar
o misterioso mundo dos astros?

Muitos fenômenos celestes exerciam uma forte influência nos povos
mais antigos e até hoje exercem um fascínio sobre a gente.

Isso levou muitos astrônomos da Antigüidade a coletar
inúmeros dados sobre o movimento dos astros, já que podia-se
observar que muitos deles se moviam entre os demais.

Existem vários modelos que podemos citar sobre o movimento dos
astros, tais como o Sistema de Ptolomeu (século II d.C.) e o modelo dos
gregos (Aristóteles - século IV a.C.), que julgavam que os corpos
celestes giravam em torno da Terra (Sistema Geocêntrico - Fig. 7.1).

O que mais nos interessa agora é o modelo de Copérnico (XVI).
Nesse modelo denominado heliocêntrico, o Sol estaria em repouso e a Terra
e os demais planetas girariam em torno dele em órbitas circulares. Anos
depois foi provado por Kepler que estas órbitas eram elípticas. A
fig. 7.2 mostra o Sistema Heliocêntrico nos dias de hoje com todos os
planetas do sistema Solar.

As órbitas dos planetas são elipses de pequena
excentricidade, praticamente circulares.

Figura 7.2 - Sistema heliocêntrico.

Observações:

1. O desenho não está em escala.

2. Até março de 1999, Plutão estará mais
próximo do Sol que Netuno.

No século XVII era uma heresia religiosa sugerir que os planetas
giravam ao redor do Sol e não da Terra. Em 1600, Giordano Bruno, um
defensor do sistema heliocêntrico de Copérnico e um religioso
herético em geral, foi julgado pela Inquisição e queimado
na fogueira.

Mesmo o grande Galileu, que era amigo do Papa, foi preso, julgado pela
Inquisição, e obrigado a renunciar publicamente suas
crenças.

Anos após a morte de Copérnico, Tycho Brahe, um
astrônomo dinamarquês, com um observatório muito bem
equipado, observou por cerca de 20 anos o movimento dos planetas.

Esses dados foram tabelados e foram a base do trabalho de Kepler (XVII), que
era seu discípulo. Após a morte de Tycho Brahe, Kepler estudou os
dados deixados por seu mestre durante 17 anos concebendo 3 leis sobre o
movimento dos planetas, dando origem à Mecânica Celeste.

Leis
de Kepler

1a
Lei de Kepler: Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma forma
elíptica da qual o Sol ocupa um dos focos (fig. 7.3).

Figura 7.3 - 1a Lei de Kepler - O Sol ocupa um dos focos da
elipse e a órbita do planeta é elíptica.

2a
Lei de Kepler: A reta que une um planeta ao Sol "varre"
áreas iguais em tempos iguais (fig. 7.4).

Figura 7.4 - 2a Lei de Kepler - As áreas A1
e A2 são iguais.

Nestes desenhos
exageramos a excentricidade das elipses para facilitar a compreensão.

Da fig. 7.4 você pode observar que:

As áreas A1 e A2 são
iguais considerando que os tempos para o planeta ir de A a B e de C a D
são iguais.

O planeta se move com maior velocidade perto do Sol
(arco AB) do que quando está mais afastado do Sol (arco CD). Isto
acontece porque o planeta, estando mais próximo do Sol, sofre uma
força de atração maior (comprovado mais tarde por
Newton).

Observação: A 2a Lei de Kepler é
válida para qualquer movimento em que haja atuação de
forças dirigidas para um único ponto. Assim, no movimento
circular, por exemplo, vale a 2a Lei de Kepler.

3a Lei de Kepler: Os quadrados dos períodos de
revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos
raios de suas órbitas.

Expressão:

T2 / R3
= K (constante)

(7.1)

Onde:

T: período de revolução do planeta

R: raio da órbita do planeta

A terceira lei de Kepler nos diz que quanto mais afastado estiver o planeta
do Sol, maior o tempo que leva para dar uma volta completa (maior o
período), e vice-versa.

Só para você ter uma idéia: "A Terra leva um ano
para dar uma volta ao redor do Sol e o raio de sua órbita é igual
á 1,000 u.a. (uma unidade astronômica), enquanto Plutão,
que é o planeta mais afastado do Sol, leva 248 anos para dar uma volta
completa e o raio da sua órbita é igual à 39,4 u.a."

Lei da
Gravitação Universal

(Isaac Newton - sec XVII)

Mais tarde, Newton, apoiado nas idéias de Kepler, observou que os
planetas deviam estar sujeitos a uma força centrípeta, pois
não sendo assim, suas trajetórias não seriam curvas (fig.
7.5).

Logo Newton concluiu que essa força era devida à
atração do Sol sobre os planetas, deduzindo as Leis de Kepler,
que antes disso eram baseadas apenas em observações.

A Lei da Gravitação Universal é uma expressão
matemática baseada na força de atração do Sol nos
planetas cujo enunciado é:

"Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional
ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da
distância entre eles."

Expressão:

F = (Gm1m2)
/ d2

(7.2)

Onde:

F: força de atração

G: constante de gravitação universal

m1 e m2: massas dos corpos estudados

d: distância entre os corpos

Esta
lei estabelece duas relações importantes:

·  Quanto maior a distância entre
dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa.

·  Quanto maior as massas dos corpos,
maior a força de atração, e vice-versa.

Da fig. 5 temos que a força F1 de
atração que o Sol exerce sobre o planeta é maior que F2
porque a distância que o planeta está do Sol na
posição 1 é menor que a distância na posição
2.

Figura 7.5- A força
de atração F1

é maior do que a força F2

(Lei da Gravitação Universal - Newton).

Pequena biografia
dos mestres da astronomia

Aristóteles

Filósofo
grego, Aristóteles nasceu em Estagir, Macedônia, em 384 a.C. Foi
discípulo de Platão durante 20 anos, e após a morte deste,
foi mestre de Alexandre, o Grande.

O cosmos aristotélico é apresentado como um círculo
gigantesco, porém finito, no qual se verifica uma rigorosa
subordinação das novas esferas girando em torno da Terra, que se
mantém imóvel no centro do sistema.

Os corpos celestes não seriam formados por nenhum dos chamados quatro
elementos transformáveis (terra, água, ar e fogo), mas por um
elemento não transformável designado "quinta
essência". Os movimentos circulares dos objetos celestes seriam,
além de naturais, eternos.

Claudius Ptolemaeus (120-189)

Ptolomeu viveu na Alexandria, observou milhares de estrelas e agrupou-as em
48 constelações conhecidas até hoje. é chamado
"O Príncipe dos Astrônomos" e seu trabalho recebeu
modificações feitas pelos europeus no séculos XVI.

Nicolau Copérnico (1473-1543)

Nascido na Polônia, além de astrônomo e
matemático, destacou-se também como sacerdote, médico,
economista, jurista, administrador e diplomata. Parte de seus estudos foram
feitos na Itália, onde aprendeu grego, podendo assim ler os originais
das obras dos grandes astrônomos e filósofos da antigüidade.
Apresentou sua teoria heliocêntrica, na qual sugere que a Terra gira em
torno de si mesma e orbita ao redor do Sol: no livro "De Revolutionibus
Orbium Coelestuim" - Sobre as Revoluções das Estrelas
Celestes -, abrindo uma visão completamente nova do Universo. A obra
só foi publicada em 1543, quando Copérnico já estava
morto. Ganhou o título de Pai da Astronomia Moderna.

Johannes Kepler (1571-1630)

Astrônomo alemão, publicou sua primeira obra, "Mysterium
Cosmographicum", em 1596, na qual se manifesta pela primeira vez a favor
da teoria heliocêntrica de Copérnico.

Durante 17 anos analisou e pesquisou os dados deixados pelo grande
astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, tendo conseguido descobrir as
três leis do movimento dos planetas, que deram origem à
mecânica celeste.

CuRioSiDaDeS !!!

O Sol

A luz do nosso astro-rei demora 8 min e 15 s para chegar até nós.

A distância entre o Sol e a Terra é de 148,45 milhões de quilômetros.

Sua massa é 334,672 vezes maior que massa da Terra, e ele é 109 vezes maior que ela.

Na sua superfície a temperatura chega a 5500 oC.

Calcula-se que no seu centro a temperatura chega a 15 milhões oC.

Ele sempre nasce do lado leste.

A Terra

A massa do planeta é 5,9 sextilhões de toneladas!

A população é de 5,2 milhões de habitantes.

A Terra é o único planeta que possui água no estado líquido e uma combinação de

fatores (oceanos, atmosfera, etc..) que levam ao desenvolvimento de formas de vida.

Distância média da Terra à Lua: 382.166 km.

A Lua

A lua é um satélite natural da Terra e é o astro mais próximo dela.

Ela não tem brilho próprio. A luz que vemos é a do Sol refletida nela,

luz que demora 1,25 segundos para chegar até a Terra.

Se você gosta de astronomia e gostaria de saber mais, visite:

Nasa

Centro de
Divulgação da Astronomia

Os
Nove Planetas

Instituto Astronômico e Geofísico

Laboratório Nacional de Astrofísica

Centro de Estudos Astronômicos de
Alagoas

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais